ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
ПРАКТИКУМ «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Авторы: Аверьянов Г.П., Будкин В.А., Дмитриева В.В., Кунов И.А.
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
В настоящее время существует большое количество программного обеспечения для научных и инженерных расчетов (математические пакеты, САПР и т.д.), содержащих готовые алгоритмы решения стандартных задач численных методов.
Для эффективного использования популярных математических пакетов прикладных программ и программных библиотек, реализующих численные методы и алгоритмы на различных языках программирования, необходимо общее представление и навыки программирования простейших вычислительных задач.
При решении физических задач часто используется выражение «нарисовать задачу», подразумевающее простой и ясный рисунок, наглядно отображающий главную идею и взаимосвязь наиболее значимых условий задачи. Точно в таком же ключе целесообразно осуществлять первоначальное обучение программированию, используя простые по смыслу и графически наглядные задачи, которые, образно говоря, могут быть объяснены «на пальцах».
К задачам подобного рода, прежде всего, можно отнести задачи, связанные с использованием простых интерполяционных полиномов первой и второй степени (§ 1), а также построением и анализом элементарных геометрических фигур на координатной плоскости, таких как треугольники и криволинейные трапеции (§ 2). Рассмотрение этих задач позволяет понять общие принципы, лежащие в основе теории интерполяции (§ 4), которая, в свою очередь является теоретической базой для вывода основных формул численного дифференцирования (§ 5) и численного интегрирования (§ 6).
Весьма важными для физических и технических приложений и в тоже время весьма наглядными являются итерационные методы решения нелинейных уравнений – методы деления отрезка пополам, метод хорд, касательных и т.д. (§ 3).
Для программирования задач данного практикума, в первую очередь, предполагается использование алгоритмического языка Фортран (Практикум «Программирование на Фортране»), однако, с тем же успехом, могут быть использованы и любые другие языки программирования – например, Паскаль или Си.