ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
В §1 и §2 было показано, что по двум заданным точкам координатной плоскости можно построить интерполяционный полином первой степени C1(x), а по трем точкам – интерполяционный полином первой степени C2(x). В общем случае при наличии N+1 точек можно сконструировать интерполяционный полином степени N в виде (4.1) или в компактном виде (4.2). График такого полинома представлен на Рис. 4.1.
Рис. 4.1. Интерполяционный полином степени N.
Форма представления интерполяционного полинома (4.1) или (4.2) называется канонической. Чтобы записать полином в канонической форме, нужно вычислить коэффициенты ai, где i – номер точки, изменяющийся от нуля до N. Для этого, решается система N+1 алгебраических уравнений (4.3), которая получается путем подстановки в (4.1) значений координат точек (xi,yi).
Рассмотренные полиномы называются интерполяционными, поскольку служат для интерполяции функций. Если функция f(x) не имеет разрывов и скачков на множестве (x0 ,x1 ,…,yN) , ее можно заменить другой функцией, близкой к ней на множестве точек xi. Такую замену называют аппроксимацией. Если требуется, чтобы аппроксимирующая функция точно совпадала с f(x) во всех xi, то такую апроксимацию называют интерполяцией, а точки xi называются узлами интерполяции (Рис. 4.2).
Рис. 4.2. Интерполяция функции полиномом.
Значения координат (xi,yi) вместе образуют таблицу чисел, поэтому функция f(x), называется таблично заданной функцией. Последовательность всех xi , от x0 до xN , называется сеткой узлов, соответственно, каждый xi – это узел сетки. В связи с этим, таблично заданные функции называют так же сеточными функциями. Узлы интерполяции, обычно, совпадают с узлами сетки.
Сетка узлов называется равномерной, если построена таким образом, что:
Чем ниже степень полинома интерполирующего функцию, тем проще вычислительные модели, построенные на его основе. Можно интерполировать таблично заданную функцию f(x) не одним полиномом степени N на всем отрезке [x0,xN], а несколькими полиномами более низких степеней на коротких участках этого отрезка. Такая интерполяция называется кусочной интерполяцией.