ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
На основе (5.8) и (5.9) получаются выражения для вычисления первой (5.10) и второй (5.11) производной со вторым порядком точности относительно величины h, а также с первым порядком точности для первой (5.12) производной, путем исключения последних слагаемых из (5.8).
Подстановка в (5.10) и (5.11) значений , q = 0 (x =xj-1), q=1 (x=xj), q=2 (x = xj+1) и q=3 (x = xj+2) дает выражения для первых и вторых производных функции со вторым порядком точности: (5.12) и (5.13).
Таким образом, в узлах (xj,j=1, N-1) первая и вторая производная функции f(x) при раскрытии конечных разностей будут определяться выражениями (5.14) и (5.15).
Для вычисления производных на левой границе, в точке) можно воспользоваться выражениями для точки (xj-1, j=1) в (5.12) и (5.13). Подстановка значений функции y0, y1, y2 и y3 приводит к формулам (5.16) и (5.17).
Первая производная на правой границе сетки узлов, в точке xN вычисляется по формуле (5.12) для узла (xj+1, j=N-1), а вторая производная по формуле (5.13) для узла (xj+2, j=N-2). Подстановка значений функции yN-3, yN-2, yN-1 и yN в соответствующие выражения приводит к формулам (5.18) и (5.19).
