ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
Численное интегрирование – это задача вычисления определенного интеграла функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b]. Если известна первообразная F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
При трудностях нахождения первообразной функция f(x) может быть задана таблицей yi = f(xi ), где (i = 0,…,N), с соблюдением граничных условий x0 = a и xN = b. После этого можно выполнить кусочно-линейную интерполяцию функции f(x) заменив ее на отрезках [xi-1 ,xi] интерполяционным полиномом Лагранжа первой степени (6.2). Для увеличения точности интегрирования используется кусочно-квадратичная интерполяция полиномом Лагранжа второй степени (6.3) на отрезке [xi-1 ,xi+1]. В обоих случаях определенный интеграл функции на отрезке [a,b] будет равен сумме интегралов на составляющих его отрезках.
где R1(x) и R2(x) – остаточные члены интегрирования соответствующего прядка точности.
Для удобства интегрирования вводится переменная q (6.4), тогда полиномы Лагранжа первой и второй степени (4.7) и (4.11) запишутся в виде (6.5) и (6.6).
Интегрирование полинома Лагранжа первой степени на отрезке [xi-1 , xi] сводится к его интегрированию на отрезке [0, 1] по переменной q. Новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в выражение (6.4).
Определенный интеграл на отрезке [a, b] вчисляется как сумма интегралов (6.7) на всех отрезках [xi-1, xi] (6.8).
Кусочно-квадратичная интерполяция функции f(x) и интегрирование полиномов Лагранжа второй степени (6.6) на равномерной сетке узлов (x0 = a; h = (b-a)/N), позволяет получить так называемую квадратурную формулу Симпсона.
Локальный полином на отрезке [xi-1, xi+1] интегрируется в пределах [0,2] по переменной q (6.9).
На отрезке [a,b] локальные интегралы суммируются (6.10). При интегрировании по формуле Симпсона количество узлов N должно быть четным.
Результаты (6.8) и (6.10) имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Определенный интеграл – это площадь под кривой функции f(x) на отрезке [a,b]. Кусочно-линейная интерполяция позволяет рассматривать интеграл как сумму площадей локальных трапеций (Рис. 6.1 - §6.2), а кусочно-квадратичная – как сумму площадей локальных криволинейных трапеций (Рис. 6.2 - §6.2).