ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
Для лучшего понимания этой идеи рассмотрим простейшие способы построения графиков функций по точкам. Самый простой способ построить график функции на отрезке [a,b] (где x0 = a и xN = b) по известным точкам – это взять линейку и соединить точки, нанесенные на координатную плоскость отрезками прямых линий, как на Рис. 4.3.
Рис. 4.3. Построение графика функции из отрезков прямых.
Можно так же взять лекало и соединить точки плавными кривыми. Плавность кривых, соединяющих точки графика, зависит от вида функций, описывающих эти кривые. Такими кривыми могут быть параболы, типа x2, как это показано на Рис. 4.4.
Рис. 4.4. Построение графика функции из фрагментов парабол типа x2.
Соединение точек отрезками прямых означает, что на каждом отрезке [xi-1 ,xi] (где i=1,N) оси x, функция f(x) интерполируется полиномом первой степени C1i(x). Здесь первый индекс 1 – это степень полинома, а второй индекс i – это номер полинома (4.5).
Эквивалентные полиномы Лагранжа и Ньютона записываются в виде (4.7) и (4.8).
При построении кусочно-квадратичного приближения множество узлов разбивается уже не на пары, а на тройки (xi-1, xi, xi+1). Также как в случае линейной интерполяции: i=1,N. Но при этом N должно быть четным целым положительным числом. При нечетном значении N ситуация значительно осложняется. Если множество узлов удалось разбить на тройки, то значения функции в узлах позволят получить уравнение полиномов второй степени P2i (x) на каждом отрезке [xi-1), xi+1]. Интерполирующий полином на отрезке квадратичной интерполяции имеет три эквивалентные формы записи: Каноническая форма (4.9), полином Лагранжа (4.11) и полином Ньютона (4.12).
