ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
Перейдем к рассмотрению интерполяционных полиномов второй степени. Из школьной программы известно уравнение параболы, заданной на координатной плоскости, которое представляет собой квадратичную функцию y=ax2+bx+c, где a, b и c – известные коэффициенты (Рис. 1.2).
Рис.1.2. Квадратичная функция
Интерполяционный полином второй степени в канонической форме (1.8) также представляет собой квадратичную функцию, с тем отличием, что коэффициенты при степенях x неизвестны.
Для нахождения неизвестных коэффициента a0, a1 и a2 необходимо решить систему трех алгебраических уравнений (1.9), которая может быть получена при наличии трех точек с известными координатами: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2). Подставляя значения этих координат в (1.8) получаем (1.9).
Решая (1.9) получаем (1.10):
Если для построения или функционального определения линейной функции (полинома степени N=1) требуется две точки, то для квадратичной функции (полинома степени N=2) будет необходимо и достаточно трех точек. В общем можно показать, для построения или функционального определения полинома степени n будет необходимо и достаточно N+1 точек.
Помимо полинома в каноническом виде (1.8), квадратичная функция при наличии трех известных точек может быть представлена также интерполяционными полиномами второй степени в форме Лагранжа (1.11) или Ньютона (1.12).
Эквивалентность выражений интерполяционных полиномов второй степени (1.13) можно показать аналогично (1.7).