ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия).
Основная идея решения уравнения (3.1) методом дихотомии заключается в том, что корень уравнения – ξ , являющийся внутренней точкой отрезка [a,b], будет так же внутренней точкой левой [a,xср] или правой половины [xср, b] отрезка [a,b]. При этом середина отрезка определяется как: xср=a+(b-a)/2 .
Последовательность итераций метода дихотомии проиллюстрирована на Рис. 3.2. Номера точек a, b и xср , соответствующих очередной итерации, проставлены в скобках, в левом верхнем углу, например: (1)a, (1)b и (1)xср или (2)a, (2)b и (2)xср , исходные границы [a,b] соответствуют нулевой итерации.
Рис. 3.2 Решение уравнения делением отрезка пополам.
Отрезок [a,b] делится пополам (вычисляется значение xср). Из двух отрезков: [a,xср] и [xср,b] выбирается тот, который содержит корень и рассматривается как новый отрезок [a,b] на следующей итерации. Процесс деления отрезка пополам завершается (задача нахождения корня решена) при выполнении условия (3.2).
В качестве решения, для определенности можно принять ξ0 = xср. Значения погрешности ε и невязки δ определяются из соображений необходимой точности решения задачи (§3.1) и входят в блок исходных данных, наряду с выражением для функции f(x) и границами поиска корня a и b.
Выбрать (на каждой итерации) из двух половин отрезка [a,b] ту половину, которая содержит корень уравнения можно сравнивая знаки значений функции в точках a, xср и b. В момент пересечения оси x в точке ξ, функция меняет знак. Знак функции меняется с отрицательного на положительный, если функция возрастает и с положительного на отрицательный, если функция убывает.
Соответственно, на концах половины отрезка, которая содержит корень уравнения, функция будет иметь разные знаки, а на концах половины отрезка, не содержащей корня – одинаковые знаки.
Произведение чисел с разными знаками отрицательно, тогда как, произведение чисел с одинаковыми знаками положительно.
На первой (1) итерации (Рис. 3.2) функция меняет знак на отрезке [a,xср], поскольку: f(a)f(xср )<0 – и значит знаки функции на концах отрезка разные. Соответственно отрезок [xср,b ] выбывает из дальнейшего рассмотрения и точка xср становится новой точкой b для следующей итерации.
На второй итерации (2), функция меняет знак уже на отрезке [xср,b] (выполняется критерий: f(b)f(xср)<0) и точка xср становится новой точкой a. Все последующие итерации выполняются по той же схеме.
Условием применимости метода деления отрезка пополам является непрерывность функции f(x) на заданном отрезке [a,b] и наличие единственного корня функции на этом отрезке.