ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
Численное дифференцирование – это задача вычисления производных функции f(x) в заданных точках отрезка [ab]. Например, в равноотстоящих узлах сетки с шагом h: (x0 = a; x1 = x0 + h; x2=x0 + 2h; … xj = xi-1 + jh; … xN = b). Величина h известна, либо определяется соотношением (5.1).
Если дифференцируемая функция задана таблично в узлах сетки или имеет сложный аналитический вид (формулу), то ее можно аппроксимировать функцией с простым аналитическим представлением, например, интерполяционным полиномом Ньютона (4.15).
Полином PN (x) будет интерполировать функцию с погрешностью RN (x), в соответствии с (5.2).
Вполне достаточную для практических приложений точность дифференцирования можно получить путем кусочной интерполяции полиномами малых степеней (k = 1, 2 или 3) и их последующего дифференцирования.
Интерполируя функцию на некотором отрезке [xj, xj+k], удобно преобразовать (4.15) к виду (5.3), введя безразмерную переменную q (5.4), принимающую целые значения в узлах интерполяции, а вместо разделенных разностей f(x0;x1;…;xi ), воспользоваться конечными разностями ∆iy0 (i = 1, k), которые вычисляются по Схеме 5.1, аналогично Схеме 4.1.
Схема 5.1. Порядок вычисления разделенных разностей.
При таком подходе кусочная интерполяция функции полиномом третьей степени (k = 3) дает результат (5.5). Остаточный член R3(x) является погрешностью интерполяции.
При дифференцировании полинома его следует рассматривать как сложную функцию, в соответствии с (5.6) и (5.7).
Тогда при кусочной интерполяции функции полиномами третьей степени имеют место соотношения (5.8) и (5.9).
