Информационные системы ускорителей

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ:
«ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

ЗАДАЧИ К § 1

2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Треугольник на координатной плоскости

2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости

ЗАДАЧИ К § 2

3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

3.3. Метод хорд

3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

3.5. Метод секущих

ЗАДАЧИ К § 3

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

ЗАДАЧИ К § 4

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

ЗАДАЧИ К § 5

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

6.2. Метод прямоугольников

ЗАДАЧИ К § 6

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

Численное дифференцирование – это задача вычисления производных функции f(x) в заданных точках отрезка [ab]. Например, в равноотстоящих узлах сетки с шагом h: (x0 = a; x1 = x0 + h; x2=x0 + 2h; … xj = xi-1 + jh; … xN = b). Величина h известна, либо определяется соотношением (5.1).

func

Если дифференцируемая функция задана таблично в узлах сетки или имеет сложный аналитический вид (формулу), то ее можно аппроксимировать функцией с простым аналитическим представлением, например, интерполяционным полиномом Ньютона (4.15).

Полином PN (x) будет интерполировать функцию с погрешностью RN (x), в соответствии с (5.2).

func

Вполне достаточную для практических приложений точность дифференцирования можно получить путем кусочной интерполяции полиномами малых степеней (k = 1, 2 или 3) и их последующего дифференцирования.

Интерполируя функцию на некотором отрезке [xj, xj+k], удобно преобразовать (4.15) к виду (5.3), введя безразмерную переменную q (5.4), принимающую целые значения в узлах интерполяции, а вместо разделенных разностей f(x0;x1;…;xi ), воспользоваться конечными разностями iy0 (i = 1, k), которые вычисляются по Схеме 5.1, аналогично Схеме 4.1.

func

Схема 5.1. Порядок вычисления разделенных разностей.

func

При таком подходе кусочная интерполяция функции полиномом третьей степени (k = 3) дает результат (5.5). Остаточный член R3(x) является погрешностью интерполяции.

func

При дифференцировании полинома его следует рассматривать как сложную функцию, в соответствии с (5.6) и (5.7).

func

Тогда при кусочной интерполяции функции полиномами третьей степени имеют место соотношения (5.8) и (5.9).

func