Цикл довузовской подготовки кафедры ЭФУ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ:
«ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

ЗАДАЧИ К § 1

2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Треугольник на координатной плоскости

2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости

ЗАДАЧИ К § 2

3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

3.3. Метод хорд

3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

3.5. Метод секущих

ЗАДАЧИ К § 3

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

ЗАДАЧИ К § 4

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

ЗАДАЧИ К § 5

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

6.2. Метод прямоугольников

ЗАДАЧИ К § 6

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

Известно, что уравнение прямой на координатной плоскости представляет собой линейную функцию y=kx+b, где коэффициенты k и b – известны (Рис.1.1).


func

Рис. 1.1. Линейная функция.


Теория интерполяции функций рассматривает уравнение прямой как одну из форм записи интерполяционного полинома первой степени в канонической форме:

func

Это, в принципе, то же самое уравнение прямой, с заменой a0 = b; a1 = k, но значения a0 и a1 неизвестны, и их требуется найти по двум точкам, координаты которых известны.

Пусть на координатной плоскости (X,Y) заданы две точки с известными координатами (x0,y0) и (x1,y1), где x2 > x1 (Рис.1.1), тогда для нахождения неизвестных коэффициентов a0 и a1 потребуется решить систему из двух алгебраических уравнений. Эти уравнения получаются подстановкой известных координат в выражение (1.1).

func

Система (1.2) показывает, что для построения или функционального определения прямой необходимо и достаточно иметь на плоскости две точки с известными координатами. Решение системы (1.2) дает значения коэффициентов a0 и a1:

func

Прямую, проходящую через две известные точки, можно представить как полиномом в канонической форме (1.1), так и интерполяционными полиномами первых степеней в форме Лагранжа или в форме Ньютона.

Полином Лагранжа первой степени записывается как линейная функция вида (1.4), а полином Ньютона первой степени – как линейная функция вида (1.5).

func

Нетрудно убедиться, что L1(x) ≡ C1(x):

func

По аналогии с (1.6) доказывается, что P1(x) ≡C 1(x) и, в конечном счете:

func

Т.е. полином в канонической форме, полином Лагранжа и полином Ньютона это разные, но абсолютно эквивалентные формы записи одного и того же выражения. Это справедливо как для полиномов первой степени, так и для полиномов всех целых положительных степеней.