ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
Известно, что уравнение прямой на координатной плоскости представляет собой линейную функцию y=kx+b, где коэффициенты k и b – известны (Рис.1.1).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/line_func.jpg)
Рис. 1.1. Линейная функция.
Теория интерполяции функций рассматривает уравнение прямой как одну из форм записи интерполяционного полинома первой степени в канонической форме:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_1_1.jpg)
Это, в принципе, то же самое уравнение прямой, с заменой a0 = b; a1 = k, но значения a0 и a1 неизвестны, и их требуется найти по двум точкам, координаты которых известны.
Пусть на координатной плоскости (X,Y) заданы две точки с известными координатами (x0,y0) и (x1,y1), где x2 > x1 (Рис.1.1), тогда для нахождения неизвестных коэффициентов a0 и a1 потребуется решить систему из двух алгебраических уравнений. Эти уравнения получаются подстановкой известных координат в выражение (1.1).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_1_2.jpg)
Система (1.2) показывает, что для построения или функционального определения прямой необходимо и достаточно иметь на плоскости две точки с известными координатами. Решение системы (1.2) дает значения коэффициентов a0 и a1:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_1_3.jpg)
Прямую, проходящую через две известные точки, можно представить как полиномом в канонической форме (1.1), так и интерполяционными полиномами первых степеней в форме Лагранжа или в форме Ньютона.
Полином Лагранжа первой степени записывается как линейная функция вида (1.4), а полином Ньютона первой степени – как линейная функция вида (1.5).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_1_4_eq_1_5.jpg)
Нетрудно убедиться, что L1(x) ≡ C1(x):
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_1_6.jpg)
По аналогии с (1.6) доказывается, что P1(x) ≡C 1(x) и, в конечном счете:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_1_7.jpg)
Т.е. полином в канонической форме, полином Лагранжа и полином Ньютона это разные, но абсолютно эквивалентные формы записи одного и того же выражения. Это справедливо как для полиномов первой степени, так и для полиномов всех целых положительных степеней.