ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3.5. Метод секущих.
Модификацией метода касательных является метод секущих, если значения производной f'(x) на всём отрезке [a,b] незначительно отличаются друг от друга по величине.
В этом случае достаточно вычислить значение производной в опорной точке для нахождения точки x0 по формуле (3.5) и использовать это значение для построения последовательности секущих линий и определения последовательности приближенных значений корня уравнения f(x)=0.
Рис.3.5. Метод секущих. Опорная точка B.
В отличие от метода касательных, для вычисления производной функции f(x) в методе секущих используются конечно-разностные приближения (3.10) для производной функции f'(x).
Из соотношения (3.5),с учетом (3.10) и выводится окончательная формула метода секущих (3.11):
Обычно в методе секущих требуется больше итераций, чем в методе касательных, но зато каждая итерация выполняется значительно быстрее, так как не требуется вычислять производные, и поэтому часто при таком же объеме вычислений можно сделать больше итераций и получить более высокую точность.