ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3.3. Метод хорд.
Если кривая функции f(x) на отрезке [a,b] не содержит точек перегиба – т.е. функция на отрезке выпукла вниз (вторая производная f''(x)>0 всюду на отрезке) или выпукла вверх (вторая производная f''(x)<0 всюду на отрезке), то для решения уравнения (3.1) можно воспользоваться методом хорд (Рис. 3.3 (а, б)).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/fig_3_3_a.jpg)
Рис.3.3(а). Метод хорд. Опорная точка A.
Сначала строится хорда (прямолинейный отрезок) соединяющий точки графика функции f(x) на границах отрезка [a,b] (точки A и B) и ищется точка пересечения хорды с осью x. Таким образом, определяется приближенное значение корня уравнения – точка x0 и соответствующая ей на графике точка A1.
Далее строится хорда, соединяющая точку A1 с опорной точкой (A или B) и позволяющая найти следующие приближение корня уравнения – точку x1, и т.д. В результате последовательного построения хорд (Рис. 3.3(б)), формируется последовательность их точек пересечения с осью x: {x0,x1,x2… xN}, сходящаяся к корню ξ уравнения (3.1).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/fig_3_3_b.jpg)
Рис.3.3(б). Метод хорд. Опорная точка B.
Критерием выбора опорной точки является совпадение знака функции в опорной точке со знаком второй производной функции f''(x) (постоянство знака второй производной во всех точках отрезка [a,b] является условием применимости метода хорд).
В примере, представленном на Рис. 3.3(а, б), указанному критерию соответствует точка B (Рис. 3.3(б)).
Если же в качестве опорной точки выбрать точку A (Рис. 3.3(а)), то последовательность точек пересечения с осью x выйдет за пределы отрезка [a,b].
Уравнение прямой, проходящей через две точки: A и B можно записать как (3.3):
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_3_3.jpg)
Соответственно, координаты пересечения точки пересечения хорды [AB] и точек пересечения последующих хорд осью x будет определяться выражениями (3.4).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_3_4.jpg)
Процесс решения завершается на итерации с номером N при достижении заданной погрешности и невязки (3.5).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_3_5.jpg)