ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3.3. Метод хорд.
Если кривая функции f(x) на отрезке [a,b] не содержит точек перегиба – т.е. функция на отрезке выпукла вниз (вторая производная f''(x)>0 всюду на отрезке) или выпукла вверх (вторая производная f''(x)<0 всюду на отрезке), то для решения уравнения (3.1) можно воспользоваться методом хорд (Рис. 3.3 (а, б)).
Рис.3.3(а). Метод хорд. Опорная точка A.
Сначала строится хорда (прямолинейный отрезок) соединяющий точки графика функции f(x) на границах отрезка [a,b] (точки A и B) и ищется точка пересечения хорды с осью x. Таким образом, определяется приближенное значение корня уравнения – точка x0 и соответствующая ей на графике точка A1.
Далее строится хорда, соединяющая точку A1 с опорной точкой (A или B) и позволяющая найти следующие приближение корня уравнения – точку x1, и т.д. В результате последовательного построения хорд (Рис. 3.3(б)), формируется последовательность их точек пересечения с осью x: {x0,x1,x2… xN}, сходящаяся к корню ξ уравнения (3.1).
Рис.3.3(б). Метод хорд. Опорная точка B.
Критерием выбора опорной точки является совпадение знака функции в опорной точке со знаком второй производной функции f''(x) (постоянство знака второй производной во всех точках отрезка [a,b] является условием применимости метода хорд).
В примере, представленном на Рис. 3.3(а, б), указанному критерию соответствует точка B (Рис. 3.3(б)).
Если же в качестве опорной точки выбрать точку A (Рис. 3.3(а)), то последовательность точек пересечения с осью x выйдет за пределы отрезка [a,b].
Уравнение прямой, проходящей через две точки: A и B можно записать как (3.3):
Соответственно, координаты пересечения точки пересечения хорды [AB] и точек пересечения последующих хорд осью x будет определяться выражениями (3.4).
Процесс решения завершается на итерации с номером N при достижении заданной погрешности и невязки (3.5).
