ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
Простейшей фигурой на координатной плоскости является треугольник (Рис. 3.1). Если координаты x0, x1, и x2 точек A, B и C различны, и расположены по возрастанию, то существует всего два вида треугольников: с точкой B выше или ниже прямой AC (как бы ни проводилась сторона AC и какие бы формы или размеры не принимал такой треугольник).
Рис. 2.1. Треугольник на координатной плоскости
Первый закономерный вопрос, в отношении треугольника, если отсутствует картинка, но известны длины сторон a , b и c или координаты точек A , B и C – это вопрос о его существовании.
Если треугольник определен тремя сторонами a , b и c , то диагональ (максимальная из сторон) может оказаться слишком длинной и две другие стороны просто не дотянутся друг до друга. Т.е при трех заданных сторонах, длина максимальной из них должна быть строго меньше суммы двух других. Если же длина диагонали равна сумме двух других сторон – это означает что все точки A , B и C лежат на одной прямой.
Точки A , B и C могут оказаться лежащими на одной прямой и в том случае, если треугольник задан координатами этих точек. Это легко проверить, составив уравнение прямой проходящей через две любые точки, а затем проверить принадлежность оставшейся точки этой прямой.
Убедившись в существовании треугольника можно классифицировать его как тупоугольный, прямоугольный – при наличии в нем таких тупого или прямого угла, а также как «остроугольный», если все углы треугольника острые. Классификацию можно построить на теореме косинусов (2.1), где α – угол противолежащий стороне a (аналогичное соотношение можно записать для двух других сторон).
Однако для классификации треугольника можно обойтись следствием теоремы косинусов – теоремой Пифагора. Если сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы – треугольник прямоугольный, если меньше – треугольник тупоугольный, если больше, тогда остроугольный.
Затем можно классифицировать треугольник как равнобедренный, при наличии двух равных сторон, а если между собой равны все три стороны – как равносторонний. В противном случае треугольник является разносторонним.
Если треугольник определен точками A , B и C на координатной плоскости (Рис. 2.1), то длины его сторон легко находятся по теореме Пифагора (2.2).
Рассмотрим задачу нахождения площади треугольника, заданного тремя сторонами или тремя точками. Площадь треугольника при трех известных сторонах a , b и c может быть вычислена по формуле Герона (2.3).
Площадь треугольника, заданного точками A , B и C на координатной плоскости (Рис. 2.1), может быть также вычислена по формуле Герона (2.3) (после вычисления сторон).
В дополнение к этому рассмотрим геометрический метод вычисления площади треугольника. На Рис. 2.1 можно видеть три трапеции: x0ABx1, x1BCx2 и x0ACx2 , соответственно площадь треугольника будет вычисляться как (2.4). Взятие модуля разности гарантирует выполнение этого соотношения для случаев, когда точка B расположена как выше, так и ниже стороны AC.
Подстановка формул площади трапеции (половина суммы оснований, умноженная на высоту) в (2.4) приводит к (2.5).
