Цикл довузовской подготовки кафедры ЭФУ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ:
«ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

ЗАДАЧИ К § 1

2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Треугольник на координатной плоскости

2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости

ЗАДАЧИ К § 2

3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

3.3. Метод хорд

3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

3.5. Метод секущих

ЗАДАЧИ К § 3

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

ЗАДАЧИ К § 4

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

ЗАДАЧИ К § 5

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

6.2. Метод прямоугольников

ЗАДАЧИ К § 6

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

На основе (5.8) и (5.9) получаются выражения для вычисления первой (5.10) и второй (5.11) производной со вторым порядком точности относительно величины h, а также с первым порядком точности для первой (5.12) производной, путем исключения последних слагаемых из (5.8).


func

Подстановка в (5.10) и (5.11) значений , q = 0 (x =xj-1), q=1 (x=xj), q=2 (x = xj+1) и q=3 (x = xj+2) дает выражения для первых и вторых производных функции со вторым порядком точности: (5.12) и (5.13).

func

Таким образом, в узлах (xj,j=1, N-1) первая и вторая производная функции f(x) при раскрытии конечных разностей будут определяться выражениями (5.14) и (5.15).

func

Для вычисления производных на левой границе, в точке) можно воспользоваться выражениями для точки (xj-1, j=1) в (5.12) и (5.13). Подстановка значений функции y0, y1, y2 и y3 приводит к формулам (5.16) и (5.17).

func

Первая производная на правой границе сетки узлов, в точке xN вычисляется по формуле (5.12) для узла (xj+1, j=N-1), а вторая производная по формуле (5.13) для узла (xj+2, j=N-2). Подстановка значений функции yN-3, yN-2, yN-1 и yN в соответствующие выражения приводит к формулам (5.18) и (5.19).

func