Цикл довузовской подготовки кафедры ЭФУ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ:
«ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

ЗАДАЧИ К § 1

2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Треугольник на координатной плоскости

2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости

ЗАДАЧИ К § 2

3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

3.3. Метод хорд

3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

3.5. Метод секущих

ЗАДАЧИ К § 3

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

ЗАДАЧИ К § 4

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

ЗАДАЧИ К § 5

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

6.2. Метод прямоугольников

ЗАДАЧИ К § 6

ЗАДАЧИ К § 4

Задача 4.1

Вычислить таблицу значений функции в равноотстоящих узлах на отрезке [ab]:

yj = f(xj ), xj=a+jh; j=0,N; h=(b-a)/N.

Найти максимальное и минимальное значение функции:

func

и соответствующие номера узлов j.


Среднее значение: y, средний квадрат: y2 и среднеквадратичное значение функции ym, где:

func

Относительное число положительных p+ и отрицательных p- значений функции:

func

где N+ и N- – соответственно число положительных и отрицательных значений таблицы yj.

Среднеквадратичное отклонение от среднего значения:

func

Задача 4.2

Вычислить таблицу биноминальных коэффициентов CNk для заданного N (вводится с клавиатуры) двумя способами: по формуле CNk = N!/((N-k)!k!), а также как треугольник Паскаля. (Таблица 4.1) – левое и правое значение в строке всегда единицы, любой другой элемент вычисляется как сумма ближайших левого и правого элементов предыдущей строки.

Таблица 4.1. Биноминальные коэффициенты.

func

Задача 4.3

Составить таблицу разделенных разностей: f(x0;…;xN) для заданного N (вводится с клавиатуры) по Схеме 4.1 для табличной функции на отрезке [ab]: yj=f(xj ), xj=a+jh; j=0,N; h=(b-a)/N. Для проверки использовать вычисление разделенных разностей по формуле:

func

Задача 4.4

Построить интерполяционный полином Ньютона второй степени P2i(x) в соответствии с (4.17) и проверить правильность вычислений по формуле (4.12) для табличной функции f(x) в узлах интерполяции xj и в промежуточных точках между узлами сетки: xj + h/2, j=0, N для табличной функции на отрезке [ab]:
yj =f (xj), xj = a + jh; j= 0, N; h = (b-a)/N
.

Вычислить погрешности интерполирования ε(xj+h/2), и и выбрать максимальную погрешность εmax., где:

func

Вычислить средний квадрат погрешности ε2 и среднеквадратичную погрешность εm.

func

Исследовать, как меняются εmax и εm с изменением N.

Варианты

Для всех вариантов [ab]=[0,1]

Значения: r,s=1÷5; k,m=1÷4; N=20÷100;

func