ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
ЗАДАЧИ К § 4
Задача 4.1
Вычислить таблицу значений функции в равноотстоящих узлах на отрезке [ab]:
yj = f(xj ), xj=a+jh; j=0,N; h=(b-a)/N.
Найти максимальное и минимальное значение функции:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_1_1.jpg)
и соответствующие номера узлов j.
Среднее значение: y, средний квадрат: y2 и среднеквадратичное значение функции ym, где:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_1_2.jpg)
Относительное число положительных p+ и отрицательных p- значений функции:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_1_3.jpg)
где N+ и N- – соответственно число положительных и отрицательных значений таблицы yj.
Среднеквадратичное отклонение от среднего значения:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_1_4.jpg)
Задача 4.2
Вычислить таблицу биноминальных коэффициентов CNk для заданного N (вводится с клавиатуры) двумя способами: по формуле CNk = N!/((N-k)!k!), а также как треугольник Паскаля. (Таблица 4.1) – левое и правое значение в строке всегда единицы, любой другой элемент вычисляется как сумма ближайших левого и правого элементов предыдущей строки.
Таблица 4.1. Биноминальные коэффициенты.
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_2_1.jpg)
Задача 4.3
Составить таблицу разделенных разностей: f(x0;…;xN) для заданного N (вводится с клавиатуры) по Схеме 4.1 для табличной функции на отрезке [ab]: yj=f(xj ), xj=a+jh; j=0,N; h=(b-a)/N. Для проверки использовать вычисление разделенных разностей по формуле:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_3_1.jpg)
Задача 4.4
Построить интерполяционный полином Ньютона второй степени P2i(x) в соответствии с (4.17) и проверить правильность вычислений по формуле (4.12) для табличной функции f(x) в узлах интерполяции xj и в промежуточных точках между узлами сетки: xj + h/2, j=0, N для табличной функции на отрезке [ab]: yj =f (xj), xj = a + jh; j= 0, N; h = (b-a)/N.
Вычислить погрешности интерполирования ε(xj+h/2), и и выбрать максимальную погрешность εmax., где:
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_4_1.jpg)
Вычислить средний квадрат погрешности ε2 и среднеквадратичную погрешность εm.
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_4_2.jpg)
Исследовать, как меняются εmax и εm с изменением N.
Варианты
Для всех вариантов [ab]=[0,1]
Значения: r,s=1÷5; k,m=1÷4; N=20÷100;
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_task_var.jpg)