ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3.4. Метод касательных (метод Ньютона).
Метод касательных используется для решения уравнения (3.1), если кривая функции f(x) на конечном (или бесконечном) отрезке монотонно возрастает или убывает без точек перегиба – т.е. на отрезке рассмотрения функции a < x < b сохраняют знак и непрерывны f'(x) и f''(x) (первая и вторая производная функции).
Критерием выбора опорной точки является совпадение знака функции в опорной точке со знаком второй производной функции f''(x) (постоянство знака второй производной на отрезке [a,b] является условием применимости метода хорд).
По своей сути этот метод похож на метод хорд и отличается только способом построения линейных функций, с помощью которых определяется очередное приближённое значение корня уравнения f(x) – вместо хорд используются касательные (Рис. 3.4).
Рис.3.4. Метод касательных. Опорная точка B.
В точке B строится касательная к графику функции (3.6), которая при пересечении с осью x дает начальное приближение корня уравнения x0 (3.7).
Аналогичным образом получаются все последующие приближения (3.8).
Метод касательных является условно сходящимся методом, для его сходимости в области поиска корня должно быть выполнено условие (3.9) В противном случае сходимость будет лишь в некоторой окрестности корня ξ.
Процесс решения завершается на итерации с номером N при достижении заданной погрешности и невязки, как и для метода хорд (3.5).