ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений.
Распространенной задачей в самых разных областях вычислений является численное решение уравнения f(x)=0 для нелинейной функции f(x). Рассмотрим несколько простых алгоритмов поиска заведомо единственного корня ξ (Рис. 3.1 (а, б)) функции f(x) непрерывной на отрезке [a,b].
Рис 3.1 (а). Приближенное решение нелинейного уравнения. Пологая функция.
Рис 3.1 (б). Приближенное решение нелинейного уравнения. Крутая функция.
Такая задача решается путем нахождения приближенного значение корня уравнения ξ0, расположенного справа (Рис. 3.1(а, б)) или слева от истинного значения ξ и при этом отстоящего от него не более, чем на величину малой положительной погрешности ε.
При этом значения функции в точках ξ и ξ0 должны отличаться не более чем на величину невязки δ – малой положительной величины. Величины погрешности и невязки являются необходимыми начальными данными для решения задачи нахождения корня нелинейного уравнения (3.1).
Значимость величин отклонения – погрешности ε и невязки δ, иллюстрируется на Рис. 3.1(а, б). Если в окрестности корня ξ функция достаточно пологая (Рис. 3.1(а)), то величина погрешности ε достаточна для регулирования точности решения. Если же функция круто возрастает или убывает (Рис. 3.1(б)), то для точности решения становится существенным значение невязки δ.