ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений.
Распространенной задачей в самых разных областях вычислений является численное решение уравнения f(x)=0 для нелинейной функции f(x). Рассмотрим несколько простых алгоритмов поиска заведомо единственного корня ξ (Рис. 3.1 (а, б)) функции f(x) непрерывной на отрезке [a,b].
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/fig_3_1_a.jpg)
Рис 3.1 (а). Приближенное решение нелинейного уравнения. Пологая функция.
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/fig_3_1_b.jpg)
Рис 3.1 (б). Приближенное решение нелинейного уравнения. Крутая функция.
Такая задача решается путем нахождения приближенного значение корня уравнения ξ0, расположенного справа (Рис. 3.1(а, б)) или слева от истинного значения ξ и при этом отстоящего от него не более, чем на величину малой положительной погрешности ε.
При этом значения функции в точках ξ и ξ0 должны отличаться не более чем на величину невязки δ – малой положительной величины. Величины погрешности и невязки являются необходимыми начальными данными для решения задачи нахождения корня нелинейного уравнения (3.1).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_3_1.jpg)
Значимость величин отклонения – погрешности ε и невязки δ, иллюстрируется на Рис. 3.1(а, б). Если в окрестности корня ξ функция достаточно пологая (Рис. 3.1(а)), то величина погрешности ε достаточна для регулирования точности решения. Если же функция круто возрастает или убывает (Рис. 3.1(б)), то для точности решения становится существенным значение невязки δ.