ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
6.2. Метод прямоугольников
Существуют еще более простые геометрические интерпретации и соответствующие им методы вычисления определенных интегралов – это так называемые методы прямоугольников (Рис. 6.1 и 6.2). Функция f(x) на отрезке [a,b] заменяется ступенчатыми функциями, и интегралы вычисляются по формулам (6.11) или (6.12).
Рис. 6.1. Метод прямоугольников (по нижнему пределу).
В первом случае вычисляемая площадь заведомо меньше фактического интеграла, а во втором – заведомо больше, поэтому эти вычислительные схемы называют методами прямоугольников по нижнему и верхнему пределу.
Рис. 6.2. Метод прямоугольников (по верхнему пределу).
Для уточнения метода прямоугольников, на отрезках [xi-1, xi] или [xi, xi+1] берут высоту, как среднее арифметическое от высот в граничных точках локальных отрезков. В этом случае получается вычислительная формула, совпадающая с методом трапеций (6.8).