ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
Рассмотрим также простейшие методы вычисления площади криволинейной трапеции x0ABx2 (Рис. 2.2).
Рис. 2.2. Криволинейная трапеция
Криволинейная трапеция представляет собой область под графиком параболы y(x) = ax2 + bx + c, ограниченную вертикальными прямыми, проходящими через точки x0 и x2. Значения коэффициентов a, b и c считаются известными.
Поскольку вычисление первообразной Y(x) от квадратичной функции y(x) не представляет никаких трудностей, то площадь трапеции легко вычислить по формуле Ньютона-Лейбница (2.6)
Для контроля правильности полученного результата при программировании задачи, вычислим Sx0ABx2 с использованием интерполяционного полинома Лагранжа второй степени (1.11). Для этого потребуется еще одна точка: (x1, y1). Выберем точку x1 в центре отрезка [x0, x2], соответственно: y1 = y(x1) и имеет место (2.7).
Удобно ввести новую безразмерную переменную q (2.8), принимающую целые значения 0, 1 и 2 в точках x0, x1 и x2.
С учетом (2.7) и (2.8) выражение для интерполяционного полинома Лагранжа второй степени (1.11) запишется как (2.9).
Интегрируя полином Лагранжа в соответствующих пределах, получим выражение (2.10), называемое формулой Симпсона.
