Цикл довузовской подготовки кафедры ЭФУ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ:
«ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

ЗАДАЧИ К § 1

2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Треугольник на координатной плоскости

2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости

ЗАДАЧИ К § 2

3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

3.3. Метод хорд

3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

3.5. Метод секущих

ЗАДАЧИ К § 3

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

ЗАДАЧИ К § 4

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

ЗАДАЧИ К § 5

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

6.2. Метод прямоугольников

ЗАДАЧИ К § 6

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

В §1 и §2 было показано, что по двум заданным точкам координатной плоскости можно построить интерполяционный полином первой степени C1(x), а по трем точкам – интерполяционный полином первой степени C2(x). В общем случае при наличии N+1 точек можно сконструировать интерполяционный полином степени N в виде (4.1) или в компактном виде (4.2). График такого полинома представлен на Рис. 4.1.

func

func

Рис. 4.1. Интерполяционный полином степени N.


Форма представления интерполяционного полинома (4.1) или (4.2) называется канонической. Чтобы записать полином в канонической форме, нужно вычислить коэффициенты ai, где i – номер точки, изменяющийся от нуля до N. Для этого, решается система N+1 алгебраических уравнений (4.3), которая получается путем подстановки в (4.1) значений координат точек (xi,yi).

func

Рассмотренные полиномы называются интерполяционными, поскольку служат для интерполяции функций. Если функция f(x) не имеет разрывов и скачков на множестве (x0 ,x1 ,…,yN) , ее можно заменить другой функцией, близкой к ней на множестве точек xi. Такую замену называют аппроксимацией. Если требуется, чтобы аппроксимирующая функция точно совпадала с f(x) во всех xi, то такую апроксимацию называют интерполяцией, а точки xi называются узлами интерполяции (Рис. 4.2).


func

Рис. 4.2. Интерполяция функции полиномом.


Значения координат (xi,yi) вместе образуют таблицу чисел, поэтому функция f(x), называется таблично заданной функцией. Последовательность всех xi , от x0 до xN , называется сеткой узлов, соответственно, каждый xi – это узел сетки. В связи с этим, таблично заданные функции называют так же сеточными функциями. Узлы интерполяции, обычно, совпадают с узлами сетки.

Сетка узлов называется равномерной, если построена таким образом, что:

func

Чем ниже степень полинома интерполирующего функцию, тем проще вычислительные модели, построенные на его основе. Можно интерполировать таблично заданную функцию f(x) не одним полиномом степени N на всем отрезке [x0,xN], а несколькими полиномами более низких степеней на коротких участках этого отрезка. Такая интерполяция называется кусочной интерполяцией.