ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
Для кусочного приближения функции f(x) интерполяционными полиномами более высоких степеней можно использовать представление полиномов Лагранжа (4.13) и Ньютона (4.15) в общем виде.
где li так называемый базисный полином.
где f(x0; x1; … ; xi ) – разделенная разность i-го порядка (Схема 4.1).
Схема 4.1. Порядок вычисления разделенных разностей.
С учетом Схемы 4.1, интерполяционный полином Ньютона второй степени (4.12) можно записать в виде (4.17).
Кусочная интерполяция функции на равномерной сетке узлов (4.4) полиномом степени N дает погрешность этой степени относительно величины h (4.18).
В заданиях данного лабораторного практикума рассматриваются функции аналитический вид (т.е. формулы) для которых известен. По формуле можно посчитать «истинное» значение функции. Поэтому погрешность приближения функции полиномом можно оценить величиной невязки (4.19). Невязка – это разность между «истинным» значением функции и значением, полученным в результате приближенных вычислений. Еще точнее – это модуль такой разности.
