Цикл довузовской подготовки кафедры ЭФУ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ:
«ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА

1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ

1.1. Интерполяционные полиномы первой степени

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

ЗАДАЧИ К § 1

2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Треугольник на координатной плоскости

2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости

ЗАДАЧИ К § 2

3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Подход к решению нелинейных уравнений

3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)

3.3. Метод хорд

3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

3.5. Метод секущих

ЗАДАЧИ К § 3

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней

4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N

ЗАДАЧИ К § 4

5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

5.2. Конечно-разностные формулы для производных

ЗАДАЧИ К § 5

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций

6.2. Метод прямоугольников

ЗАДАЧИ К § 6

1.2. Интерполяционные полиномы второй степени

Перейдем к рассмотрению интерполяционных полиномов второй степени. Из школьной программы известно уравнение параболы, заданной на координатной плоскости, которое представляет собой квадратичную функцию y=ax2+bx+c, где a, b и c – известные коэффициенты (Рис. 1.2).


func

Рис.1.2. Квадратичная функция


Интерполяционный полином второй степени в канонической форме (1.8) также представляет собой квадратичную функцию, с тем отличием, что коэффициенты при степенях x неизвестны.

func

Для нахождения неизвестных коэффициента a0, a1 и a2 необходимо решить систему трех алгебраических уравнений (1.9), которая может быть получена при наличии трех точек с известными координатами: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2). Подставляя значения этих координат в (1.8) получаем (1.9).

func

Решая (1.9) получаем (1.10):

func

Если для построения или функционального определения линейной функции (полинома степени N=1) требуется две точки, то для квадратичной функции (полинома степени N=2) будет необходимо и достаточно трех точек. В общем можно показать, для построения или функционального определения полинома степени n будет необходимо и достаточно N+1 точек.

Помимо полинома в каноническом виде (1.8), квадратичная функция при наличии трех известных точек может быть представлена также интерполяционными полиномами второй степени в форме Лагранжа (1.11) или Ньютона (1.12).

func

Эквивалентность выражений интерполяционных полиномов второй степени (1.13) можно показать аналогично (1.7).

func