ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
СТРУКТУРА И ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА
1. ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
1.1. Интерполяционные полиномы первой степени
1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
ЗАДАЧИ К § 1
2. ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Треугольник на координатной плоскости
2.2. Криволинейная трапеция на координатной плоскости
ЗАДАЧИ К § 2
3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Подход к решению нелинейных уравнений
3.2. Деление отрезка пополам (дихотомия)
3.3. Метод хорд
3.4. Метод касательных (метод Ньютона)
3.5. Метод секущих
ЗАДАЧИ К § 3
4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
4.1. Интерполяция функции полиномами степени N
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
4.3. Кусочная интерполяция полиномом степени N
ЗАДАЧИ К § 4
5. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1. Формулы дифференцирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
5.2. Конечно-разностные формулы для производных
ЗАДАЧИ К § 5
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6.1. Формулы интегрирования, вытекающие из кусочной интерполяции функций
6.2. Метод прямоугольников
ЗАДАЧИ К § 6
4.2. Кусочная интерполяция полиномами малых степеней
Для лучшего понимания этой идеи рассмотрим простейшие способы построения графиков функций по точкам. Самый простой способ построить график функции на отрезке [a,b] (где x0 = a и xN = b) по известным точкам – это взять линейку и соединить точки, нанесенные на координатную плоскость отрезками прямых линий, как на Рис. 4.3.
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/fig_4_3.jpg)
Рис. 4.3. Построение графика функции из отрезков прямых.
Можно так же взять лекало и соединить точки плавными кривыми. Плавность кривых, соединяющих точки графика, зависит от вида функций, описывающих эти кривые. Такими кривыми могут быть параболы, типа x2, как это показано на Рис. 4.4.
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/fig_4_4.jpg)
Рис. 4.4. Построение графика функции из фрагментов парабол типа x2.
Соединение точек отрезками прямых означает, что на каждом отрезке [xi-1 ,xi] (где i=1,N) оси x, функция f(x) интерполируется полиномом первой степени C1i(x). Здесь первый индекс 1 – это степень полинома, а второй индекс i – это номер полинома (4.5).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_5_4_6.jpg)
Эквивалентные полиномы Лагранжа и Ньютона записываются в виде (4.7) и (4.8).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_7_4_8.jpg)
При построении кусочно-квадратичного приближения множество узлов разбивается уже не на пары, а на тройки (xi-1, xi, xi+1). Также как в случае линейной интерполяции: i=1,N. Но при этом N должно быть четным целым положительным числом. При нечетном значении N ситуация значительно осложняется. Если множество узлов удалось разбить на тройки, то значения функции в узлах позволят получить уравнение полиномов второй степени P2i (x) на каждом отрезке [xi-1), xi+1]. Интерполирующий полином на отрезке квадратичной интерполяции имеет три эквивалентные формы записи: Каноническая форма (4.9), полином Лагранжа (4.11) и полином Ньютона (4.12).
![func](/inform/edu/algorithms/begin_numeth-pr2013/images/eq_4_9_4_12.jpg)